Question

【題目】如圖所示，以為頂點的六面體中，和均為等邊三角形，，且平面平面，平面，是的中點，連接.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）27.

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，連結，，根據正三角形的性質可得，，從而得平面，由面面垂直的性質得平面，可得從而， 四點共面平面，；（Ⅱ）連接，由是中點，由是中點可得，又，可證明平面平面，從而可得結果；（Ⅲ）先證明到平面的距離等于，求出，三棱錐的體積.

試題解析：（Ⅰ）取的中點，連結，.

和均為等邊三角形，，，又，

平面. 平面平面，，

所以平面，

又因為平面，從而， 四點共面，　　　　　　

平面，

（Ⅱ）連接，由是中點可得，又，

，所以平面平面， 平面，平面；

（Ⅲ）平面平面，，所以平面，

又，到平面的距離等于，在等邊和中，，，

，　　　　

所以三棱錐的體積.