Question

己知實數m≠0，又

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，設函數f(x)=

a

•

b

．
（1）若m＞0，且f（-2）=f（2），求m的值；
（2）若對一切正整數k，有f（2k）＞f（2k-1），求m的取值范圍．

Answer 1

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，設函數f(x)=

a

•

b

．
可得f（x）=（x²-1）m^x+m^x-1
（1）由題知3m^-2+m^-3=3m²+m，即m^-4（3m²+m）=3m²+m，
∴m^-4=1，
∴m=±1，又m＞0，
∴m=1；
（2）由題知（4k²-1）m^2k+m^2k-1＞（4k²-4k）m^2k-1+m^2k-2，兩邊同除m^2k-2，
得（4k²-1）m²+m＞（4k²-4k）m+1，
整理得4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1＞0
記g（k）=4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1
①當m²-m＞0，即m＞1或m＜0時，g（k）的對稱軸為k=-

1

2(m-1)

＜1
故要使g（k）＞0對一切正整數k恒成立，只需g（1）＞0
即3m²+m-1＞0，解得m＞

-1+ 13

6

或m＜

-1- 13

6

∴m＞1或m＜

-1- 13

6

②當m²-m=0，即m=0或1時，m=0時，等價于-1＞0恒成立，顯然不符合題意m=1時，等價于4k-1＞0對一切正整數k恒成立，顯然符合題意
③當m²-m＜0，即0＜m＜1時，g（k）是開口向下的拋物線，由圖象知對一切正整數k，g（k）＞0不可能恒成立
綜上所述m＜

-1- 13

6

或m≥1．