Question

方程8x²＋6kx＋2k＋1＝0的兩根能否是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

原方程的兩個根不可能是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值

【解析】設直角三角形兩銳角分別為α、β，設已知方程的兩根為x₁、x₂，

則x₁＝sinα，x₂＝sinβ＝sin＝cosα

由韋達定理得：

x₁＋x₂＝sinα＋cosα＝sin

x₁·x₂＝sinα·cosα＝sin2α

于是有，

即，∴，

易知該混合組無解．

故原方程的兩個根不可能是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值．

[點評]　此題易產生下面錯解．

設直角三角形的兩個銳角分別為α和β.

已知方程的兩根為x₁和x₂，則x₁＝sinα，x₂＝sinβ.

又α與β互余，∴x₂＝sin＝cosα.

由sin²α＋cos²α＝1得

x＋x＝1⇒(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝1.

由韋達定理得： ²－2·＝1⇒9k²－8k－20＝0.解得：k₁＝2，k₂＝－.

錯因是忽視了一元二次方程有實根應滿足Δ≥0，銳角的三角函數值應為正值的條件．事實上，當k＝2時，原方程可化為8x²＋12x＋5＝0，此時Δ<0，方程無實根．當k＝－時，原方程化為：8x²－x－＝0，此時x₁x₂＝－，即sinαcosα＝－.∵α是銳角，∴該式顯然不成立．