Question

下列函數中既是偶函數且在區間（0，

π

2

）上單調遞減的函數是（　�。�

Answer 1

分析：由函數奇偶性的定義排除選項A、B、D，最后判斷函數y=cosx的奇偶性，再利用定義證明其在（0，

π

2

）上單調遞減．

解答：解：∵sin（-x）=-sinx，∴函數y=sinx為奇函數，故A不正確；
∵tan（-x）=-tanx，∴函數y=tanx為奇函數，故B不正確；
∵cos（-x）=cosx，∴函數y=cosx為偶函數，
又若0＜x1＜x2＜

π

2

，則cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

，
∵0＜x1＜x2＜

π

2

，則0＜

x1+x2

2

＜

π

2

，-

π

4

＜

x1-x2

2

＜0，
∴cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

＞0．
∴cosx₁＞cosx₂．
∴函數y=cosx在區間（0，

π

2

）上單調遞減，故C正確；
函數y=lnx的定義域為（0，+∞），不關于原點對稱，所以，函數y=lnx是非奇非偶函數，故D不正確．
故選C．

點評：本題是考查函數的奇偶性與單調性的綜合題，單純的從解決問題而言，此題可以直接利用函數不是偶函數排除A、B、D．對于選項C，可以借助于其圖象分析單調性，也可利用定義證明，此題是基礎題型．