Question

古漢集團生產的A，B兩種型號的口服液供出口，國家為鼓勵產品出口，采用出口退稅政策：出口價值為a萬元的/1產品可獲得

1

10

a萬元的退稅款，出口價值為b萬元的B產品可獲得mln（b+1）（m＞0）萬元的退稅款．已知廠家出口總價值為100萬元的A、B兩種口服液，且兩種口服液的出口價值都不低于10萬元．
（1）當m=

8

5

時，請你制定一個方案，使得在這次出口貿易中該企業獲得的退稅款最多，并求出其最大值；
（精確到0.1，參考數據：l_n2≈0.7）
（2）記該企業獲得的退稅款的最大值函數為，f（m），求f（m）的表達式．

Answer 1

（1）設出口B產品價值x萬元，則出口A產品價值為（100-x）萬元，設該企業獲得的退稅款為y萬元．
則y=mln（x+1）+

1

10

（100-x）  10≤x≤100，
當m=

8

5

時，y=

8

5

ln（x+1）+

1

10

（100-x）
由y'=

8

5(x+1)

-

1

10

得x=15
易知：當x∈（10，15）時函數遞增，
當x∈（15，90）時，函數遞減．
故當x=15時，y_max=

8

5

ln16+

1

10

×85≈13.0
（2）由y=mln（x+1）+

1

10

（100-x）
得y'=

m

x+1

-

1

10

令y′=0得x=10m-1，
①當0＜10m-1＜10時，即0.1＜m＜1.1
此時函數在（10，90）上單調遞減，故f（m）=f（10）=9+mln11．
當10≤10m-1≤90時，即1.1≤m≤9.1
此時，函數在（10，10m-1）上遞增，在（10m-1，90）上遞減．
故f（m）=f（10m-1）=mln10m-m+10.1
當10m-1＞90時，即m＞9.1，
此時函數在（10，90）上遞增，
故f（m）=f（90）=mln91+1
綜上f（m）=

mln11+9    0＜m＜1.1 mln10m-m+10.1   1≤m≤9.1 mln91+1     m＞9.1

．