Question

已知直線l：x+y-1=0與圓C：x²+y²-4x+3=0相交于A，B兩點．
（1）求|AB|；
（2）若P（x，y）為圓C上的動點，求

y

x

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方法一：把直線的方程和圓的方程聯立方程組，求得A、B的坐標，利用兩點間的距離公式求得|AB|．
方法二：由圓方程得圓心C（2，0），過點C作CM⊥AB交AB于點M，連接CA，求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式求得弦長|AB|．
（2）令

y

x

=k，則y=kx，把y=kx代入圓的方程化為關于x的一元二次方程，根據判別式大于或等于零，求得k的范圍

解答：解：（1）方法一：由

x+y-1=0 x2+y2-4x+3=0

，求得x²+（1-x）²-4x+3=0． …（2分）
解得x₁=1，x₂=2，…（4分）
從而 y₁=0，y₂=-1．A（1，0），B（2-1），…（5分）
所以|AB|=

12+12

=

2

．        …（6分）
方法二：由圓方程得圓心C（2，0），過點C作CM⊥AB交AB于點M，連接CA，…（2分）
則|CM|=

|2-1|

1+1

=

2

2

，|CA|=1，…（4分）
所以|AB|=2|AM|=2•

1- 1 2

=

2

．…（6分）
（2）令

y

x

=k，則y=kx．    …（7分）
由

y=kx x2+y2-4x+3=0

得（1+k²）x²-4x+3=0．     …（9分）
依題意有△=16-12（1+k²）=4-12k²=4（1-3k²）≥0，即k2-

1

3

≤0．…（11分）
解不等式k2-

1

3

≤0，得 -

3

3

≤k≤

3

3

…（13分）
故

y

x

的取值范圍是[-

3

3

，

3

3

]．     …（14分）

點評：本小題主要考查直線和圓相交，相切的有關性質，考查數形結合、化歸轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．