Question

已知函數f（x）=x²+ax+b，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）利用單調性的定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（1+x）=f（1-x）可得函數關于x=1對稱，然后求實數a的值；
（Ⅱ）利用單調性的定義進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）方法1：
由f （1+x）=f （1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）+b=（1-x）²+a（1-x）+b，
整理得：（a+2）x=0，
由于對任意的x都成立，∴a=-2．
方法2：
由f （1+x）=f （1-x）得，函數關于x=1對稱，
則對稱軸為-

a

2

=1，解得a=-2．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）可知 f （ x ）=x²-2x+b，
下面證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．
設x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=（x12-2x1+b）-（x22-2x2+b）
=（x12-x22）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，以及利用定義法證明和判斷函數的單調性，考查學生的推理判斷能力．