Question

（1）一雙曲線以橢圓16x²+25y²=400的焦點為頂點，橢圓的長軸端點為焦點，求雙曲線的方程．
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）上一點A到準線及對稱軸的距離分別為10和6，求A點的橫坐標及拋物線的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓16x²+25y²=400的標準形式為
∴橢圓的左右頂點坐標為（5，0）和（-5，0）
∵橢圓的半焦距c==3，
∴橢圓的焦點坐標為（3，0）和（-3，0）
∵雙曲線的焦點是橢圓和左右頂點，頂點是橢圓的左右焦點
∴雙曲線的b²=25-9=16，可得雙曲線的方程是：-=1；
（2）∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點A到對稱軸的距離為6，
∴設A（x₀，y₀），y₀²=2px₀且|y₀|=6，可得2px₀=36…（*）
∵點A到準線的距離為10，
∴x₀+=10，與（*）聯解，可得或
由此可得A點的橫坐標為9，拋物線的方程是y²=4x；或A點的橫坐標為1，拋物線的方程是y²=36x．
分析：（1）根據橢圓的基本概念，不難得到雙曲線的頂點坐標和焦點坐標，再利用平方關系算出b的平方，即可得到所求雙曲線的方程．
（2）設A（x₀，y₀），由拋物線上點A到對稱軸的距離為6，得|y₀|=6．由此結合拋物線的標準方程和定義，建立x₀和p的方程組，解之即可得到A點的橫坐標及拋物線的方程．
點評：本題第1問考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質的知識；第2問考查了拋物線的定義與簡單幾何性質，兩題都屬于基礎題．