Question

（2012•威海一模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（I）若曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（II）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（III）當(dāng)a=2時，關(guān)于x的方程f（x）=m有三個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，先對已知函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由f'（2）=2-a-1+

a

2

=

3

2

，可求a；
（II）由f'（x）=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

（x＞0），通過比較1與2a的大小解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）把判斷方程f（x）=m何時有三個不同的實(shí)數(shù)根的問題，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的極值，把函數(shù)的極值同m進(jìn)行比較，得到結(jié)果．

解答：解：（I）由已知可知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}
f'（x）=x-a-1+

a

x

（x＞0）
根據(jù)題意可得，f'（2）=2-a-1+

a

2

=

3

2

，
∴a=-1．
（II）∵f'（x）=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

（x＞0）
①當(dāng)a＞1時，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2a）上單調(diào)遞減
②當(dāng)0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③當(dāng)a=1時，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴當(dāng)a＞1時，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a≤0時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
（III）當(dāng)a=2時，f（x）=

1

2

x2-3x+2lnx，
由（II）問知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減；
∴f（x）的極大值為f（1）=-

5

2

，f（x）的極小值為f（2）=2ln2-4，
當(dāng)m∈（2ln2-4，-

5

2

），函數(shù)方程f（x）=m在（0，+∞）上有三個不同的實(shí)數(shù)根，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2ln2-4，-

5

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，及函數(shù)的極值與最值的求解的相互關(guān)系的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．