Question

已知向量

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=

a

•

b

，x∈R．
（I ）化簡函數f（x）的解析式并求其最小正周期；
（II）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算得出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（II）根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的定義域與值域就確定出f（x）的最大值與最小值．

解答：解：（I）∵

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴當2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

時，f（x）_min=-1；
當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）_max=

2

，
綜上所述，當x=

π

2

時，f（x）_min=-1；當x=

π

8

時，f（x）_max=

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積運算，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．