Question

如圖是某筒諧運動的一段圖象，其函數模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

．
（1）根據圖象求函數y=f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x+

π

6

）．實數a滿足0＜a＜π．且

∫

π a

g（x）dx=3．求a的值．

Answer 1

分析：（1）由圖象可求得A=2，ω=1，從而可得函數的解析式；
（2）由（1）知g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx，利用積分公式可求得

∫

π a

g（x）dx=

∫

π a

2sinxdx=-2cosx

|

π a

=-2cosπ+2cosa=3，繼而可求得a的值．

解答：解：（1）∵A＞0，f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知
f（x）_max=A=2，f（x）_min=-A=-2，
∴A=2…2′
由

1

2

T=

7π

6

-

π

6

=π，
∴T=2π，又T=

2π

ω

（ω＞0）
∴

2π

ω

=2π，
∴ω=1…4′
∴函數的解析式為y=f（x）=2sin（x+φ），
由圖可知，

π

6

+φ=2kπ，（也可用

7π

6

+φ=π來解）．
∴φ=-

π

6

．
∴所求的函數的解析式為y=f（x）=2sin（x-

π

6

）…6′
（2）由（1）知g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx．
∵

∫

π a

g（x）dx=

∫

π a

2sinxdx=-2cosx

|

π a

=-2cosπ+2cosa=3，
∴cosa=

1

2

，又0＜a＜π，
∴a=

π

3

…12′

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式及定積分的簡單應用，關鍵在于數量掌握求A，ω的方法及定積分公式，屬于中檔題．