Question

對于四面體ABCD，下列命題正確的是    （寫出所有正確命題）．
①相對棱AB與CD所在直線是異面直線；②若AB⊥CD，BC⊥AD，則AC⊥BD；③分別作三組對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點．

Answer 1

【答案】分析：通過反證、證明、即構造模型，逐一檢驗答案的正確性，從而得到答案．
解答：解：①假設相對棱AB與CD所在直線不是異面直線，則有A、B、C、D四點共面，這與四面體ABCD矛盾，故假設不對，∴①正確．
②設A在面BCD內的射影為H，∵AB⊥CD，BH是AB在面BCD內的射影，∴BH⊥CD； 同理可證DH⊥BC，∴H是三角形BCD的垂心，
∴CH⊥BD，而CH是AC在面BCD內的射影，∴AC⊥BD，故②正確；
③2條對棱中點的連線是平行四邊形的2條對角線，以為平行四邊形的2條對角線交與一點，故③正確．
故答案為①②③
點評：本題考查異面直線的判定、棱錐的結構特征．