Question

已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負(fù)，且a＜b，則

a+b+c

b-a

的最小值是______．

Answer 1

∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒非負(fù)，故 b＞a＞0．
再由△≤0得到c≥

b2

4a

．
則

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

4a2+b2+4ab

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

(2 3a(b-a) )2

4a(b-a)

=

12a(b-a)

4a(b-a)

=3，
故當(dāng)3a=b-a，且 c=

b2

4a

時(shí)，

a+b+c

b-a

取得最小值是3，
即 b=c=4a時(shí)，

a+b+c

b-a

的最小值是3，
故答案為 3．