Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函數g（x）的單調減區間為（-

1

3

，1），求函數g（x）的解析式；
（2）如果函數g（x）在區間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數，求實數a的取值范圍．
（3）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出g（x）的導函數，令導函數小于0得到不等式的解集，得到相應方程的兩個根，將根代入，求出a的值．
（2）若函數g（x）在區間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數，則g′（x）＜0在區間(-

1

3

，

1

2

)上恒成立，利用二次函數的圖象和性質可求出實數a的取值范圍．
（3）已知條件可以轉化為a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立，對不等式右邊構造函數，利用其導函數求出函數的最大值即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數g（x）的單調減區間為（-

1

3

，1），
∴g′（x）=3x²+2ax-1由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1．
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（2）∵函數g（x）在區間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數，
∴g′（x）=3x²+2ax-1＜0在區間(-

1

3

，

1

2

)上恒成立
即g′（-

1

3

）=3（-

1

3

）²+2a（-

1

3

）-1≤0，且g′（

1

2

）=3（

1

2

）²+2a（

1

2

）-1≤0，
解得-1≤a≤

1

4

（3）g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立　①（9分）
設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2X

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；
當x＞1時，h'（x）＜0
∴當x=1時，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性．這類題目是高考的常考題．