Question

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則

OP

•

FP

的取值范圍為（　�。�

• A、[3+2

  3

  ，+∞）
• B、[3-2

  3

  ，+∞）
• C、[

  7

  4

  ，+∞）
• D、[-

  7

  4

  ，+∞）

Answer 1

分析：先根據雙曲線的焦點和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設出點P，代入雙曲線方程求得縱坐標的表達式，根據P，F，O的坐標表示

OP

•

FP

，進而利用二次函數的性質求得其最小值，則可得

OP

•

FP

的取值范圍．

解答：解：設P（m，n），則

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
∵F（-2，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞0）的左焦點，
∴a²+1=4，∴a²=3，
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1，
∵點P為雙曲線右支上的任意一點，
∴

m2

3

-n2=1(m≥

3

)，
∴n²=

m2

3

-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+2m+

m2

3

-1=

4

3

m2+2m-1
∵m≥

3

，
∴函數在[

3

，+∞）上單調遞增，
∴m²+2m+n²≥3+2

3

，
∴

OP

•

FP

的取值范圍為[3+2

3

，+∞）．
故選A．

點評：本題考查待定系數法求雙曲線方程，考查平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程度以及知識的綜合應用能力、運算能力．