Question

函數
（1）若，證明；
（2）若不等式時和都恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）構造函數g(x)="f(x)-" ，利用導數來判定單調性得到證明。
（2）或

試題分析：（1）令g(x)="f(x)-" ="ln(x+1)-" ，
則g^′(x)=  -∵x＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函數．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞
（2）原不等式等價于x²-f(x²)≤m²-2bm-3．
令h(x)= x²-f(x²)=x²-ln(1+x²)，
則h^′(x)=x-=
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴當x∈[-1，1]時，h（x）_max=0，
∴m²-2bm-3≥0．令Q（b）=-2mb+m²-3，
則Q(1)=m²-2m-3≥0, Q(-1)=m²+2m-3≥0
解得m≤-3或m≥3．
點評：本題考查函數的導數和函數思想的應用，本題解題的關鍵是構造新函數，對于新函數進行求導求最值，再利用函數的思想來解題，這種題目可以出現在高考卷中