Question

已知圓C：（x-1）²+（y-3）²=16，直線l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0．
（1）無論m取任何實數，直線l必經過一個定點，求出這個定點的坐標；
（2）當m取任意實數時，直線l和圓的位置關系有無不變性，試說明理由；
（3）請判斷直線l被圓C截得的弦何時最短，并求截得的弦最短時m的值以及弦的長度a．

Answer 1

分析：（1）展開后把含有m的合并在一起，提取m后聯立兩直線組成的方程組求解定點的坐標；
（2）根據直線過的定點在圓的內部，說明直線和圓的位置關系不變，一定相交；
（3）根據當圓心C和P點的連線垂直于直線l時直線l被圓C截得的弦何時最短求解m的值和弦的長度a．

解答：解（1）直線：l：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0可變形m（2x+y+2）+（3x+4y-2）=0
由

2x+y+2=0 3x+4y-2=0

，解得

x=-2 y=2

．因此直線l恒過定點P（-2，2）；
（2）因為已知圓的圓心C（1，3），半徑r=4，而（-2-1）²+（2-3）²=10＜16，
所以直線l過圓C：（x-1）²+（y-3）²=16內一定點P（-2，2），故不論m取何值，直線l和圓總相交；
（3）當直線l垂直于CP時，截得的弦最短，此時，k_l•k_CP=-1
kCP=

3-2

1+2

=

1

3

，kl=-

2m+3

m+4

=-3，得m=-9．
∴最短弦長為a=2

r2-|CP|2

=2

16-10

=2

6

，所以m=-9，a=2

6

．

點評：本題考查了直線系方程，考查了直線和圓的位置關系，關鍵是明確直線l被圓C截得的弦何時最短，是中檔題．