Question

【題目】國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，每人需交費用為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，人均費用減少10元，直到達到規定人數75人為止．旅行社需支付各種費用共計15000元．
（1）寫出每人需交費用y關于人數x的函數；
（2）旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？

Answer 1

【答案】
（1）解：當0＜x≤30時，y=900；

當30＜x≤75，y=900﹣10（x﹣30）=1200﹣10x；

即

（2）解：設旅行社所獲利潤為S元，則

當0＜x≤30時，S=900x﹣15000；

當30＜x≤75，S=x（1200﹣10x）﹣15000=﹣10x2+1200x﹣15000；

即

因為當0＜x≤30時，S=900x﹣15000為增函數，

所以x=30時，Smax=12000；

當30＜x≤75時，S=﹣10x2+1200x﹣15000=﹣10（x﹣60）2+21000，

即x=60時，Smax=21000＞12000．

所以當旅行社人數為60時，旅行社可獲得最大利潤

【解析】（1）根據自變量x的取值范圍，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函數解析式即可；（2）利用（1）中的函數解析式，結合自變量的取值范圍和配方法，分段求最值，即可得到結論．