Question

已知橢圓的中心在原點，焦點為F₁（0，-2

2

），F₂（0，2

2

），且離心率e=

2 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標為-

1

2

，求直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

（I）設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，
由題意得c=2

2

，e=

c

a

=

2 2

3

，所以a=3，
b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為x2+

y2

9

=1；
（II）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
則△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即k²-m²+9＞0①，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

2km

k2+9

，
因為線段AB中點的橫坐標為-

1

2

，所以2×（-

1

2

）=-

2km

k2+9

，
化簡得k²+9=2km，所以m=

k2+9

2k

②，
把②代入①整理得k⁴+6k²-27＞0，解得k＜-

3

或k＞

3

，
所以直線l傾斜角的取值范圍為k＜-

3

或k＞

3

．