Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）當函數f（x）的圖象過點（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若當mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數f（x）為偶函數時，試判斷F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據f（-1）=0，可得a-b+1=0，再根據方程f（x）=0有且只有一個根，利用根的判別式再列出一個a和b的關系式，聯立方程組即可解得a和b的值．
（Ⅱ）首先求出g（x）的函數關系式，然后根據函數的單調性進行解答，即可求出k的取值范圍．
（Ⅲ）由f（x）為偶函數，求出b=0，設m＞0，則n＜0，又知m+n＞0，故可得m＞-n＞0，最后把m和n代入求出F（m）+F（n）＞0．
解答：解：（Ⅰ）因為f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）
因為方程f（x）=0有且只有一個根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）²．（4分）
（Ⅱ）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=．（6分）
所以當或時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調函數．（9分）
（Ⅲ）f（x）為偶函數，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以（10分）
因為mn＜0，不妨設m＞0，則n＜0．
又因為m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此時F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）
點評：本題主要考查函數解析式的求法、函數單調性的性質和奇偶性與單調性綜合運用的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握函數單調性的性質，利用奇偶性進行解題，此題難度不是很大．