Question

設實數x，y滿足不等式組

x-y-1≥0 2x-y-6≤0 x+y-k-2≥0

且x²+y²的最小值為m，當9≤m≤25時，實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據z=x²+y²，利用幾何意義：點P（x，y）到原點距離的平方來求最值，只需求出可行域內滿足最小值的點A（x，y）關于k的表達式，再代入已知條件9≤m≤25，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，
其中目標函數：z=x²+y²，
表示可行域內點P（x，y）到原點距離的平方，
當點P在第一象限，且為l₁：x-y-1=0和l₂：x+y-k-2=0
的交點時，z取得最小值
此時P（

k+3

2

，

k+1

2

），z=

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²
∵x²+y²的最小值為m，且9≤m≤25，
∴9≤

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²≤25
解之得k∈[

17

-2，5]
故答案為：[

17

-2，5]

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．解決時，首先要解決的問題是明白題目中目標函數的意義．