Question

20．$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x≤1}\\{{{log}_9}^x，x＞1}\end{array}}\right.$，則$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集是（-1，1]∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 根據指數函數的圖象和性質，分析偶函數f（x）的單調性，結合f（x-1）＜f（2），可得|x-1|＜2，解得答案．

解答 解：當x≤1時，f（x）=2^x為增函數，$f（x）＞\frac{1}{2}$，
可得：2^x$＞\frac{1}{2}$，可得1≥x＞-1；
故當x＞1時，f（x）=log₉x，
$f（x）＞\frac{1}{2}$，
可得：log₉x$＞\frac{1}{2}$，可得x＞3；
解得：x∈（3，+∞），
故答案為：（-1，1]∪（3，+∞）．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，指數函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．