Question

已知圓C₁的方程為x²+（y-2）²=1，定直線l的方程為y=-1．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）直線l′與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l'的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記S為△POQ（O為坐標原點）的面積，求S的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），動圓半徑為R，利用動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切，可建立方程，化簡，即可得到動圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）確定點P坐標，直線PQ的方程與拋物線方程聯立，求得點Q的坐標，從而可求S的值．
解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），動圓半徑為R，
則，且|y+1|=R…（2分）
可得 …（3分）
由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有y+1＞0，
∴，整理得x²=8y，即為動圓圓心C的軌跡M的方程…（5分）
（ II）如圖示，設點P的坐標為，則=，…（6分）
k_PQ=，所以直線PQ的方程為…（8分）
又，
∴，．
∵點P在第一象限，∴x=4，--（9分）
點P坐標為（4，2），直線PQ的方程為y=-x+6．--------------（10分）
聯立得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴點Q的坐標為（-12，18）．
所以---------（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查曲線的切線，考查三角形的面積，考查直線與拋物線的位置關系，確定P、Q的坐標是關鍵．