Question

已知函數f(x)=滿足f(1)=1,f(2)=.

(1)求f(x)的表達式;

(2)判斷F(x)= lg［f(x)］在x∈［-1，1］上的單調性，并用定義給出證明;

(3)若m∈R，求F(|m- |-|m+|)的值域.

Answer 1

解析：（1）由已知

（2）由（1）知

設-1≤x₁＜x₂≤1,

?

因為x₁²+1＞0,x₂²+1＞0,x₁-x₂＜0,x₁x₂-1＜0,所以f(x₁) -f(x₂)＞0,即f(x)在［-1，1］上單調遞減.又?||≤||=1,?

所以f(x)＞0, lg［f(x)］有意義.?

所以F(x)=lg［f(x)］在［-1，1］上單調遞減.??

（3）||m-|-|m+||≤|m--(m+)|= ,

所以-≤|m-|-|m+|≤.

所以F()≤F(|m-|-|m+|)≤F(-).?

而F()=lg,F(-)=lg,?

所以所求值域為［lg,lg］.