【題目】已知橢圓
: 
的長軸長為4，左、右頂點分別為
，經過點
的直線與橢圓相交于不同的兩點
（不與點重合）.
（Ⅰ）當
，且直線
軸時， 求四邊形
的面積；
（Ⅱ）設
，直線
與直線
相交于點
，求證：
三點共線.
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）根據條件得
，再根據方程得
，進而解得
坐標，最后根據四邊形
形狀求面積，（Ⅱ）先考慮特殊情形：直線
的斜率
不存在，具體求出
坐標，即得結果，再考慮直線的斜率存在情況，設
，
，再用坐標表示
，以及
，最后利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入化簡得
.
（Ⅰ）由題意，得
， 解得
. 所以橢圓
方程為
.
當
，及直線
軸時，易得
,
. 且
,
.
所以
，
，顯然此時四邊形為菱形，所以四邊形的面積為
.
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為
，
代入橢圓的方程，得
，
，
易得
的方程為
.則
,
,
,
所以
，即
三點共線.
當直線的斜率存在時，設的方程為
，，，
聯立方程
消去y，得
.
由題意，得
恒成立，故
，
.
直線的方程為
. 令
，得.
又因為，，
則直線
，
的斜率分別為
，
，
所以
.
上式中的分子 
，
所以. 所以三點共線.
智能訓練練測考系列答案
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知變量
、
之間的線性回歸方程為
，且變量、之間的一-組相關數據如下表所示，則下列說法錯誤的是（ ）
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A.可以預測，當
時，
B.
C.變量、之間呈負相關關系D.該回歸直線必過點
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】太極圖被稱為“中華第一圖”．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極魚”．已知
或
，下列命題中：①
在平面直角坐標系中表示的區域的面積為
；②
，使得
；③
，都有
成立；④設點
，則
的取值范圍是
．其中真命題的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直線ρcosθ=1與曲線C相交于M，N兩點，直線l過定點P（2，0）且傾斜角為α，l交曲線C于A，B兩點．
（1）把曲線C化成直角坐標方程，并求|MN|的值；
（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比數列，求直線l的傾斜角α．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為提高產品質量，某企業質量管理部門經常不定期地抽查產品進行檢測，現在某條生產線上隨機抽取100個產品進行相關數據的對比，并對每個產品進行綜合評分（滿分100分），將每個產品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.
（1）求圖中
的值，并求綜合評分的中位數；
（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產線中隨機抽取5個產品，再從這5個產品中隨機抽取2個產品記錄有關數據，求這2個產品中恰有一個一等品的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，在高為
的等腰梯形
中，
，且
，
，將它沿對稱軸
折起，使平面
平面
，如圖
，點
為
的中點，點
在線段
上(不同于
，
兩點)，連接
并延長至點
，使
.
(1)證明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四邊形
是直角梯形，
，
，
，
，
分別為
，
的中點．
（1求異面直角與所成角的大小；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
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