Question

【題目】已知各項均為整數的數列{an}滿足an2≤1，1≤a12+a22+…+an2≤m，m，n∈N* ．
（1）若m=1，n=2，寫出所有滿足條件的數列{an}；
（2）設滿足條件的{an}的個數為f（n，m）．
①求f（2，2）和f（2016，2016）；
②若f（m+1，m）＞2016，試求m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1，n=2時，1≤ ≤1，又 ≤1

∴{an}為0，1或0，﹣1或1，0或﹣1，0

（2）解：①當m=n=2時，1≤ ≤2，a1、a2取值共有：32﹣1=8種，

即f（2，2）=8，

又當m=n=2016時，1≤ ≤2016，a1、a2、a2016取值共有：32016﹣1種；

即f（2016，2016）=32016﹣1f（m+1，m）＞2016即1≤ ≤m

②數列{an}需滿足不能全為0，不能沒有0（即每項均為1或﹣1），

∴f（m+1，m）=3m+1﹣1﹣2m+1，

即考慮3m+1﹣2m+1﹣1＞2016，

令g（m）=3m+1﹣2m+1，

則g（m+1）﹣g（m）=2×3m+1﹣2m+1＞0

∴g（m）單調增

又g（6）=2059成立，

∴m最小值為6

【解析】（1）若m=1，n=2，1≤ ≤1，又 ≤1，即可求得所有滿足條件的數列{an}；（2）①）當m=n=2時，1≤ ≤2，由a1、a2可能取值為0，1，﹣1，則a1、a2取值共有：32﹣1=8種，當m=n=2016時，1≤ ≤2016，a1、a2、a2016可能取值為0，1，﹣1，共有：32016﹣1種；②由f（m+1，m）=3m+1﹣1﹣2m+1 ， 將原式轉換為3m+1﹣2m+1＞2017，構造輔助函數g（m）=3m+1﹣2m+1 ， 做差g（m+1）﹣g（m）=2×3m+1﹣2m+1＞0，g（x）單調遞增，又g（6）=2059成立，即可求得m的最小值．