Question

函數f(x)=+lnx(a≠0)，
(1)求函數y=f(x)的遞增區間；
(2)當a=1時，求函數y=f(x)在[，4]上的最大值和最小值；
(3)求證：。

Answer 1

(1)解：，
①若a＜0，f′(x)＞0對一切x＞0恒成立，∴f(x)的增區間為(0，+∞)；
②若a＞0，則當時，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；
當時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增；
故當a＜0時，f(x)的增區間為(0，+∞)，當a＞0時，f(x)的增區間為；
(2)解：當a=1時，，
當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：

，
，
∴。
(3)證明：當a=1時，由(2)知f(x)≥f(1)=0，
∴，即(當且僅當x=1時取等號)，
①令，則有(此時等號不成立)，
即有，
∴當k=n+1時，，
當k=n+2時，，
……
當k=3n時，，
累加可得：。
②同理令，則有(此時等號不成立)，
即有，
∴當k=n時，，
當k=n+1時，，
當k=3n-1時，，
累加可得：，
即：，
故：。