Question

在數列{a_n} 中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log

1

4

an（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{b_n} 是等差數列；
（Ⅲ）設數列{c_n} 滿足c_n=a_n•b_n，求{c_n} 的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，能求出數列{a_n} 的通項公式．
（Ⅱ）由b_n+2=3log

1

4

an（n∈N^*），an=(

1

4

)n，知bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，由此能證明數列{b_n}是等差數列．
（Ⅲ）由an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，n∈N^*，c_n=a_n•b_n，cn=(3n-2)×(

1

4

)n，由此利用錯位相減法能求出{c_n} 的前n項和S_n．

解答：（Ⅰ）解：∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴數列{a_n}是首項為

1

4

，公比為

1

4

的等比數列，
∴an=(

1

4

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）證明：∵b_n+2=3log

1

4

an（n∈N^*），an=(

1

4

)n，
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，
∴b₁=1，公差d=3，
∴數列{b_n}是首項b₁=1，公差d=3的等差數列．
（Ⅲ）解：∵an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，n∈N^*，c_n=a_n•b_n，
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，①

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×（

1

4

）³+7×（

1

4

）⁴+…+（3n-5）×（

1

4

）ⁿ+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹
=

1

2

-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹-（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1，n∈N^*．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查等差數列的證明，考查數列的前n項和的求法．解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．