Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a，．
（Ⅰ）試判斷數列是否為等比數列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項a_n．
（Ⅱ）如果a=1時，數列{a_n}的前n項和為S_n．試求出S_n，并證明（n≥3）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=，
∴．
令，則b_n+1=2b_n． …2分
∵，
∴當a=-2時，b₁=0，則b_n=0．
∵數列{0}不是等比數列．
∴當a=-2時，數列不是等比數列．…4分
當a≠-2時，b₁≠0，則數列是等比數列，且公比為2．
∴b_n=b₁•2^n-1，
即．
解得． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=1時，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，
S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．
令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
則2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，…②
由①-②：-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=
=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1，…9分
則S_n=T_n-2n=（2n-1）（2ⁿ-1）． …10分
∵2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ，
∴當n≥3時，2ⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2（n+1），則2ⁿ-1≥2n+1．…12分
∴S_n≥（2n-1）（2n+1），
則．…13分
因此，=． …14分．
分析：（Ⅰ）由=，知．令，則b_n+1=2b_n．由此能夠求出．
（Ⅱ）當a=1時，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，則2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，再由錯位相減法和裂項求和法進行求解．
點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意錯位相減法和裂項求和法的靈活運用．