Question

由正數(shù)組成的等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，且

Sn

Tn

=

2n

3n+1

，則

a5

b7

=（　�。�

• A．

  13

  20

• B．

  9

  14

• C．

  20

  31

• D．

  9

  20

Answer 1

分析：設等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，把n=1，2，3分別代入已知可得2a₁=b₁．2a₁=7d₁-4d₂  ①a₁=5d₁-3d₂  ②．由①②解得d₁=2a₁，d₂=3a₁．代入要求的式子化簡可得．

解答：解：設等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，
則由題意可得

S1

T1

=

a1

b1

=

2×1

3×1+1

=

1

2

，即 2a₁=b₁．
再由

S2

T2

=

a1+a2

b1+b2

=

2a1+d1

2b1+d2

=

2×2

3×2+1

，2a₁=7d₁-4d₂  ①．
再由

S3

T3

=

a1+a2+a3

b1+b2+b3

=

3a1+3d1

3b1+3d2

=

2×3

3×3+1

，化簡得a₁=5d₁-3d₂  ②．
由①②解得 d₁=2a₁，d₂=3a₁．
故

a5

b7

=

a1+4d1

b1+6d2

=

a1+4×2a1

2a1+6×3a1

=

9

20

．
故選D．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，解得 d₁=2a₁，d₂=3a₁是解題的關鍵，屬中檔題．