Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分別是AD，PC的中點，證明：PC⊥平面BEF．

Answer 1

【答案】分析：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，欲證PC⊥平面BEF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面BEF內兩相交直線垂直，而利用空間向量可求得PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，滿足定理條件．
解答：解：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2，四邊形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D的坐標為A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
又E，F分別是AD，PC的中點，
∴E（0，，0），F（1，，1）．
∴=（2，2，-2），=（-1，，1），=（1，0，1），
∴•=-2+4-2=0，•=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及利用空間向量求證兩直線垂直，屬于基礎題．