Question

如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作．第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；第二次操作：連結剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時在挖去的3個三角形上都貼上數字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；……，如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為a_n

(1)求a₁，a₂；

(2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數字和S_n；

(3)浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經過多少次操作？

Answer 1

答案：
解析：

(1)；…………4分 　　(2)設第n次操作挖去bn個三角形，則{bn}是以1為首項，3為公比的等比數列，即，所以所有三角形上所貼標簽上的數字的和 　　 　　則，兩式相減，得： 　　，故 　　(3)因為是以為首項，以為公比的等比數列，所以…………8分 　　由，得 　　因為所以當時， 　　所以至少經過5次操作，可以使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的…………12分