Question

學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有3人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設X為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且X＞0的概率P(X＞0)=

3

5

．
（1）求文娛隊的人數；
（2）從文娛隊中選出3人排練一個由1人唱歌2人跳舞的節目，有多少種挑選演員的方法？

Answer 1

分析：（1）設文娛隊共有n人，易得5≤n≤8，n∈N^*，進而可得其中只會唱歌，只會跳舞，既會唱歌又會跳舞的人數，根據題意P(X＞0)=

3

5

，易得n＜8，分別討論n=7、5≤n≤6兩種情況，可得n的值；
（2）由（1）的結論，文娛隊中只會唱歌的有1人，記為a，只會跳舞的有3人，記為b、c、d，既會唱歌又會跳舞的有2人，記為e、f；分①若表演唱歌的一人是a，②表演唱歌的一人從e、f中選，兩種求解討論，分別計算該情況下的選法數目，由分類計數原理計算可得答案．

解答：解：（1）設文娛隊共有n人（5≤n≤8，n∈N^*），則其中只會唱歌的有（n-5）人，只會跳舞的有（n-3）人，既會唱歌又會跳舞的有（8-n）人．
∵P(X＞0)=

3

5

≠0，∴n＜8．
若n=7，則P(X＞0)=P(X=1)=

C 1 1 C 1 6

C 2 7

=

6

21

=

2

7

≠

3

5

，
∴5≤n≤6．
此時，P(X＞0)=P(X=1)+P(X=2)=

C 1 8-n C 1 2n-8

C 2 n

+

C 2 8-n

C 2 n

=

3

5

，
即  

2(8-n)(2n-8)+(8-n)(7-n)

n(n-1)

=

3

5

，整理可得3n²-28n+60=0
解方程，得n=6，或n=

10

3

（舍）
所以，文娛隊共6人．
（2）由題意知，文娛隊中只會唱歌的有1人，記為a，只會跳舞的有3人，記為b、c、d，既會唱歌又會跳舞的有2人，記為e、f；．
若表演唱歌的一人是a，則表演跳舞的2人從b、c、d、e、f中選，有C₅²種選法，
若表演唱歌的一人從e、f中選，則表演跳舞的2人從剩余會跳舞的4人中選，有C₂¹C₄²種選法，
故不同的選法共有C₁¹C₅²+C₂¹C₄²=22種．

點評：本題考查等可能事件的概率計算，排列、組合的應用；解題的難點在于（1）中對P(X＞0)=

3

5

的理解及運用．