Question

隨機變量X的分布列如下表如示，若數列{p_n}是以p₁為首項，以q為公比的等比數列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為Q（p₁，q）．現隨機變量X∽Q（

1

63

，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n 的值并求隨機變量X的數學期望EX；
（Ⅱ）一個盒子里裝有標號為1，2，…，n且質地相同的標簽若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X．現有放回的從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標簽的標號不大于3的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得求出和的表達式進而解得n=6，所以可得X的分布列，求出隨機變量X的期望，利用數列的有關知識求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機變量X的分布列可得隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率，進而根據獨立重復試驗的公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，數列{p_n}是以

1

63

為首項，以2為公比的等比數列，
所以Sn=p1+p2+…+pn=

1 63 (1-2n)

1-2

=1（1分）
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列為：

X	1	2	3	4	5	6
P	1 63	2 63	4 63	8 63	16 63	32 63

所以EX=1•p1+2•p2+…+6p6=1•

1

63

+2•

22

63

+…+6•

25

63

=

1

63

(1•20+2•21+…+6•25)（4分）
所以2EX=

1

63

(1•21+2•22+…+6•26)（5分）
兩式相減得EX=

1

63

[6•26-(25+24+23+22+21+20)]（6分）
=

1

63

[6•26-

26-1

2-1

]=

1

63

(5•26+1)=

321

63

=

107

21

，（7分）
所以隨機變量X的數學期望EX

107

21

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機變量X的分布列可得：
隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率為

1

63

+

2

63

+

4

63

=

1

9

（10分）
所以恰好2次取得標簽的標號小于3的概率為

C

2 3

•(

1

9

)2•(1-

1

9

)=

8

243

（13分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握離散型隨機變量的期望與方差，以及利用錯位相減法求數列的和．