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(2007•溫州一模)已知函數f(x)=(1-x)ex,設Q1(x1,0),過P1(x1,f(x1))作函數y=f(x)的圖象的切線與x軸交于點Q2(x2,0),再過P2(x2,f(x2))作函數y=f(x)的圖象的切線與x軸交于點Q3(x3,0),…,依此下去,過Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函數y=f(x)的圖象的切線與x軸交于點Qn+1(xn+1,0),….若x1=2,
(Ⅰ)試求出x2的值并寫出xn+1與xn的關系;
( II)求證:n-1<
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
≤n-
1
2
(n∈N*)
分析:(1)可通過求函數f(x)=(1-x)ex的導數來求得過Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函數y=f(x)的圖象的切線方程的斜率,從而求得切線方程,然后可令y=0,即可得到xn+1與xn的關系;
(2)由(1)得到xn+1=xn+
1
xn
-1
,x1=2>1,先用數學歸納法法證明xn>1,從而得
1
xn
<1
,利用累加法可證得
1
x2
+…+
1
xn
<n-1
,結合
1
x1
=
1
2
,從而有
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
≤n-
1
2
;再利用
1
xn
=xn+1-xn+1
,可證明
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
=xn+1-x1+n=xn+1-2+n
>n-1,問題即可得證明.
解答:解:(I)由題意得:導數為f′(x)=-xex,可求得x2=
3
2
---(3分)
過Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函數y=f(x)的圖象的切線方程為:y-(1-xn)exn=-xnexn(x-xn)
令y=0得:-(1-xn)exn=-xnexn(xn+1-xn),即xn+1=xn+
1
xn
-1
---(6分)
(II)先用數學歸納法證明:xn>1
當n=1時x1=2>1成立;
假設當n=k時成立,即xk>1.
xk+1=xk+
1
xk
-1>2-1=1
(基本不等式xk+
1
xk
>2
),則當n=k+1時也成立.
故xn>1,---(9分)
則可得
1
xn
<1
,故
1
x2
+…+
1
xn
<n-1
,又
1
x1
=
1
2
,則
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
≤n-
1
2

---(11分)
由(I)得
1
xn
=xn+1-xn+1
,則
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
=x2-x1+1+x3-x2+1+…+xn+1-xn+1=xn+1-x1+n=xn+1-2+n
則 xn+1>1,則xn+1-2+n>n-1
因此,
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
>n-1
.---(14分)
點評:本題考查用數學歸納法證明不等式,難點有二,一在于證明xn>1的思考與證明,而在于對
1
xn
=xn+1-xn+1
的靈活應用,考查學生的綜合分析與轉化能力,屬于難題.
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23
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x2
8
+
y2
4
=1
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