Question

.(本小題滿分14分)
已知數列滿足，.
(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)求證：；
(Ⅲ)求數列的通項公式.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

(Ⅰ)證明：用數學歸納法證明
(1)當時，.所以結論成立.
(2)假設時結論成立,即,則
.
所以.
即時,結論成立.
由(1)(2)可知對任意的正整數，都有.…………………………………4分
(Ⅱ)證明：．
因為，所以，即．
所以．……………………………………………………………………9分
(Ⅲ) 解：，
，
所以.
又，
所以.……………………………11分
又，
令，則數列是首項為,公比為的等比數列．
所以．
由，得．
所以．…………………………14分