Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線交y軸正半軸于點，交拋物線于A，B兩點，其中A在第二象限．
（1）求證：以線段FA為直徑的圓與Y軸相切；
（2）若

FA

= λ1 

AP

，

BF

=λ2

FA

，求λ₂-λ₁的值．

Answer 1

分析：（1）由題設知F（

p

2

，0），設A（x₁，y₁），則y₁²=-2px，計算出圓心坐標，然后分別求出圓心到y軸的距離和圓半徑，由此能夠證明以線段FA為直徑的圓與y軸相切．
（2）設P（0，y₁），B（x₂，y₂），由題中向量關系式得出坐標之間的關系，最后代入拋物線方程整理即可得到λ₂-λ₁的值．

解答：證明：（1）由已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0），
設A（x₁，y₁），則圓心坐標為(

2x1-p

4

，

y1

2

)，
圓心到y軸的距離為

p-2x1

4

．…（2分）
圓的半徑為

|FA|

2

=

1

2

(

p

2

-x1)=

p-2x1

4

，…（4分）
∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切．                            …（5分）
（2）設P（0，y₀），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，得λ₁＞0，λ₂＞0(x1+

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，…x2=λ22x1…（6分）
(-

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1+

p

2

，y1)．（7分）
∴x1+

p

2

=-λ1x1①
-

p

2

-x2=λ2(x1+

p

2

)②
-y₂=λ₂y₁③…（10分）
∵y22=-2px2，y12=-2px1．
將③變形為y22=λ22y12，∴x2=λ22x1．…（11分）
將代入②，整理得x1=-

p

2λ2

…（12分）
代入①得-

1

λ2

+1=

λ1

λ2

．…（13分）
即λ₂-λ₁=1．…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到直線與圓的位置關系及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．