Question

若（2-x）ⁿ展開式中奇數(shù)二項式系數(shù)和為8192，則展開式中系數(shù)最大的項為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用二項式奇數(shù)項的系數(shù)和公式列出方程求得n值，利用二項展開式的通項公式求得第r+1項，據系數(shù)的絕對值的最大值大于等于它相鄰項的系數(shù)絕對值解得r，求出展開式中系數(shù)最大的項．
解答：解：2^n-1=8192得n=14，則T_r+1=C₁₄^r2^14-r（-x）^r，由于（2-x）¹⁴展開式中各項系數(shù)正負相間，
故先求其展開式中系數(shù)絕對值最大的項，記為第r+1項，于是有：
C₁₄^r2^14-r≥C₁₄^r-12^15-r①，C₁₄^r2^14-r≥C₁₄^r+12^13-r②；由①②解得：4≤r≤5；又r=5時系數(shù)為負，
∴r=4，即展開式中系數(shù)最大的項為C₁₄⁴2¹⁰x⁴．
故答案為C₁₄⁴2¹⁰x⁴
點評：本題考查二項式系數(shù)和公式；二項展開式的通項公式；及系數(shù)最大的項的求法．