Question

如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）當時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

【答案】分析：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，
（1）求出對應各點的坐標，設出平面PBC的法向量為，，并求出平面PBC的法向量，再根據=，即可得到直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G為，再根據，解得k的值即可．
解答：解：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則得、、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）當時，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得、、
設平面PBC的法向量為，則由，得，
∴
=，
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G為，則，
若O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心，則有，解得
∴當時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心．
點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．