Question

已知{a_n}是各項不為0的等差數列，S_n為其前n項和，且a_n²=S_2n-1，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）設數列{b_n}滿足，T_n為數列{b_n}的前n項和．
（�。┣骉_n；
（ⅱ）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設公差為d，在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，可得關于a₁，d的方程組，解出a₁，d，由等差數列通項公式可得a_n；
（2）（i）b_n==），利用裂項相消法可求得T_n；
（ii）分n為偶數，n為奇數兩種情況進行討論：分別分離出參數λ后，轉化為最值問題解決，分別利用基本不等式、單調性可求得最值；
解答：解：（1）設公差為d，在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得，即，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）（i）．∵b_n==），
∴T_n=（1-）（-）+…+（）=1-=．
（ii））①當n為偶數時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜=n++恒成立．
∵n+≥4，等號在n=2時取得．∴此時λ需滿足λ＜．
②當n為奇數時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜=n--恒成立．
∵n-是隨n的增大而增大，∴n=1時n-取得最小值-3，
∴此時λ需滿足λ＜-．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-．
點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、數列求和，恒成立問題，考查轉化思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．