Question

已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若，求函數f（x）=•的最小值及相應x的值；
（2）若與的夾角為，且⊥，求tan2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量點乘表示出函數f（x）的解析式后令t=sinx+cosx轉化為二次函數解題．
（2）根據向量a與b的夾角為確定，再由a⊥c可知向量a點乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再將代入即可得到答案．
解答：解：（1）∵=（cosx，sinx），
=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，
∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．
令t=sinx+cosx（0＜x＜π），
則2sinxcosx=t²-1，且．
則，．
∴時，，此時．
由于0＜x＜π，故．
所以函數f（x）的最小值為，相應x的值為；
（2）∵與的夾角為，
∴．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，∴．
∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．
∴sin（x+α）+2sin2α=0，．
∴，
∴．
點評：本題主要考查平面向量的坐標運算和數量積運算．向量一般和三角函數放在一起進行考查，這種題型是高考的熱點，每年必考．