Question

（本題滿分13分）如圖，在三棱柱中，已知

側面

(Ⅰ)求直線C₁B與底面ABC所成角正切值；

(Ⅱ)在棱（不包含端點上確定一點的位置，使得(要求說明理由).

(Ⅲ)在（2）的條件下,若，求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 2     (Ⅱ) 為的中點      (Ⅲ) 45°

【解析】本試題主要是考查了線面角和線線垂直的證明，以及二面角的平面角的求解的綜合運用。

（1）先建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量以及直線的斜向量，利用向量的夾角公式得到線面角的求解。

（2）假設存在點使得滿足題意，然后利用垂直關系解得點的坐標，進而分析得到結論。

（3）在前面的基礎上，進一步得到兩個半平面的法向量的求解，結合法向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小的運算。

解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，

則，，···················· 1分

(Ⅰ)直三棱柱中，平面的法向量，又，

設，

則 ·············· 3分

          

  即直線與底面所成角正切值為2.   ·········· 4分

（Ⅱ）設，則，

，∴  

，即 ·················· 8分

Ⅲ）∵，則，

設平面的法向量，

則，取 ··········· 10分

∵，∴，

又····················· 11分

∴平面的法向量，∴

∴二面角的大小為45°    13分