Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面APD⊥面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分別為PC和BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）證明：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAD內一直線平行，連AC，根據中位線可知EF∥PA，EF?平面PAD，PA?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面PAD⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理可知在平面ABCD內一直線與平面PAD垂直，根據面面垂直的性質定理可知CD⊥平面PAD，又CD?平面ABCD，滿足定理所需條件；
（3）過P作PO⊥AD于O，從而PO⊥平面ABCD，即為四棱錐的高，最后根據棱錐的體積公式求出所求即可．

解答：證明：（1）連AC，由題可知F在AC上，∵E，F分別是AC，PC的中點
∴EF∥PA
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD
∴EF∥平面PAD（4分）
證明：（2）平面PAD⊥平面ABCD于AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC（8分）
解：（3）過P作PO⊥AD于O∴PO⊥平面ABCD，
∵△PAD是等腰直角且AD=2，∴PO=1
∴VP-ABCD=

1

3

Sh=

2

3

（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．