Question

已知二次函數y=f（x）的圖象與x軸相切于點（-1，0），其導函數y=f′（x）與直線y=2x平行．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）已知

lim

x→+∞

lnx

x

=0，試討論方程kf′（x）-lnf（x）=0（k∈R）在區間（-1，+∞）上解得個數．

Answer 1

分析：（1）先假設函數解析式，利用導函數y=f′（x）與直線y=2x平行，可求y=f（x）的解析式；
（2）方程kf′（x）-lnf（x）=0（k∈R）在區間（-1，+∞）上解，可轉化為兩曲線的交點個數，由此，可借助于函數的圖象加以解決．

解答：解：（1）依題意可設y=f（x）=a（x+1）²（a≠0）．
又導函數y=f′（x）與直線y=2x平行
∴a=1，
∴y=f（x）=（x+1）²…（4分）
（2）由（1）知：2k（x+1）-2ln（x+1）=0，令t=x+1＞0（x＞-1），∴k=

lnt

t

故原方程在（-1，+∞）上的解，即為直線y=k與曲線g(t)=

lnt

t

在（0，+∞）上的交點個數．…（7分）
∵g/(t)=

1-lnt

t

令g′（t）=0，∴t=e∈（0，+∞），
∴函數在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減
∴由圖象可知，當k＞

1

e

時，原方程沒有解；
當0＜k＜

1

e

時，原方程有兩解；
當k≤0時，原方程僅有一解；
當k=

1

e

時，原方程僅有一解．…（12分）
綜上所述，當k≤0或k=

1

e

時，方程僅有一解；
當0＜k＜

1

e

時，方程有兩解；
當k＞

1

e

時，方程沒有解．…（13分）

點評：本題以二次函數為載體，考查解析式的求解，考查方程根的個數的研究，關鍵是合理轉化．