Question

已知函數f(x)=msinωx+

2

cosωx(ω＞0，m＞0)的最大值為2．且x=

π

4

，x=

5π

4

是相鄰的兩對稱軸方程．
（1）求函數f（x）在[0，π]上的值域；
（2）△ABC中，f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且C=60°，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得m=

2

，ω=1，繼而可求得f（x）的解析式，由0≤x≤π⇒

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

⇒-

2

2

≤x+

π

4

≤1，從而可求函數f（x）在[0，π]上的值域；
（2）利用正弦定理可求得a+b=

2

ab①再由余弦定理，得a²+b²-ab=9②，二者聯立可求得ab，從而可求得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵f（x）=

m2+2

sin（ωx+φ），
∴f（x）的最大值為

m2+2

，
∴

m2+2

=2，又m＞0，
∴m=

2

，
∴f（x）=2sin（ωx+

π

4

），
∵x=

π

4

，x=

5π

4

是相鄰的兩對稱軸方程．
∴T=2π=

2π

ω

，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+

π

4

），
∵0≤x≤π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤x+

π

4

≤1．
∴f（x）的值域為[-

2

，

2

]．
（2）設△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得2R=

c

sinC

=

3

sin60°

=2

3

．
化簡f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，得
sinA+sinB=2

6

sinAsinB，
由正弦定理，得2R（a+b）=2

6

ab，
a+b=

2

ab．①
由余弦定理，得a²+b²-ab=9，即（a+b）²-3ab-9=0．②
將①式代入②，得2（ab）²-3ab-9=0．
解得ab=3，或ab=-

3

2

（舍去）．
S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查輔助角公式的應用，著重考查正弦函數的圖象與性質，考查正弦定理、余弦定理的綜合應用，屬于中檔題．