Question

（本小題共12分）

已知函數

（Ⅰ）若時，函數在其定義域是增函數，求b的取值范圍；

（Ⅱ）在（1）的結論下，設函數的最小值；

（Ⅲ）設函數的圖象C1與函數的圖象C2交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線互相平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意：

∵上是增函數，∴恒成立，…（2分）

∴∵∴b的取值范圍為…………（4分）

（Ⅱ）設

∵∴當上為增函數，

當t=1時，…………………………………………       (5分)

當   ………………    (6分)

當上為減函數，

當t=2時，…………………………………………………………(7分)

綜上所述，當

當

…………………………………………… (8分)

（Ⅲ）設點P、Q的坐標是

則點M、N的橫坐標為

C1在M處的切線斜率為C­2­在點N處的切線斜率

假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則

即

則  

……………………(10分)

設…………………………①

令則

∵∴ 所以上單調遞增，故

 則這與①矛盾，假設不成立

故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行。………………  （12分）

 

【解析】略