Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點
（1）求證：AC_l∥平面B₁DC
（2）若E是A₁B₁的中點，點P為一動點，記PB₁=x，點P從E出發，沿著三棱柱的棱，按E經A₁到4的路線運動，求這一過程中三棱錐P-BCC₁的體積的表達式y（z），并求V（x）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AC₁∥面B₁DC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與面B₁DC內一直線平行即可，取B₁C中點F，又D為AB中點則DF∥AC_l，DF?面B₁DC，AC_l?面B₁DC，滿足定理所需條件；
（2）根據條件可知PB₁⊥平面BCC₁，當點P從E點出發到A₁點時，即x∈[1，2]時，求出V_p-BCC，當點P從A₁點出發到A點時，即x∈[2，2]，求出V_p-BCC，然后利用分段函數求出V（x）的體積的最值．
解答：解：（1）取B₁C中點F，又D為AB中點∴DF∥AC_l（2分）
又∵DF?面B1DC，AC_l?面B₁DC
∴AC₁∥面B₁DC（4分）
（2）已知PB₁=x，S_△BCC=2
又A₁B₁⊥平面BCC₁
∴PB₁⊥平面BCC₁（6分）
當點P從E點出發到A₁點時，即x∈[1，2]時，V_p-BCC=•S_△BCC•PB=
當點P從A₁點出發到A點時，即x∈[2，2]，V_p-BCC=•S_△BCC•AB=
從而V（x）=（8分）
故=V（1）≤V（x）≤V（2）=
即V（x）最大值是，最小值是（10分）
點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積最值的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視，屬于綜合題．