Question

設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，當x＞1時，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求證：0＜x＜1時，f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調性并證明之；
（4）若f（

1

2

）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

Answer 1

（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）為偶函數；
（2）函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
證明如下：設x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，
∵當x＞1時f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂•

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
則f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）為單調減函數；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）為單調減函數；
∴0＜x＜1時，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

2

）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化為：f[x（2-x）]＜f（

1

2

），
∵f（x）在（0，+∞）為單調減函數，
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 2

，解得0＜x＜1+

2

2

，
故所求的解集為：（0，1+

2

2

）．