Question

已知某運動的物體做變速直線運動,它的速度v是時間t的函數v(t),求物體在t=0到t=t₀這段時間內所經過的路程s.

Answer 1

思路分析:利用定積分的定義,先分割,再近似代替,然后作和,求出極限即得路程.

解:(1)分割:將時間區間［0,t₀］分成n等份:［t₀］(i=1,2,…,n),每個小區間所表示的時間為Δt=;各區間物體運動的距離記作Δs_i(i=1,2,…,n).

(2)近似代替:在每個小區間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的距離.在小區間［］上任取一時刻ξ_i(i=1,2,…,n).用時刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i個小區間上的速度.由勻速直線運動的路程公式,每個小區間上物體運動所經過的距離可以近似地表示為Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).

(3)求和:因為每個小區間上物體運動的距離可以用這一區間上做勻速直線運動的路程近似代替,所以在時間［0,t₀］內物體運動的距離s,就可以用這一物體分別在n個小區間上作n個勻速直線運動的路程和近似代替,即s=.

(4)求極限:當所分時間區間越短,即Δt=越小時,的值越接近于s.因此,當n→∞,即Δt=→0時,的極限,就是所求的物體在時間區間［0,t₀］上經過的路程.由此得到s=.

    深化升華 s=為做變速直線運動的物體在［0,t₀］這段時間內所運動的路程,其中ξ_i為區間［］上的任意值,取ξ_i=t₀時,s=;

取ξ_i=t₀時,s=;取ξ_i=時,

s=.當物體做勻速直線運動時,上面的結論仍成立.