Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD=CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點．
（1）證明：PA∥面BDE；
（2）證明：面PAC⊥面PDB．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PA∥面BDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與面BDE內(nèi)一直線平行即可，連接AC，交BD于O，連接OE，得到OE∥PA，滿足定理條件；
（2）欲證面PAC⊥面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知只需證面ABCD內(nèi)一直線AC垂直面PDB即可，而AC⊥PD，AC⊥DB，PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知符合定理條件．
解答：證明：（1）連接AC，交BD于O，連接OE
∵DB平分∠ADC，AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA
又∵E為PC的中點∴OE∥PA
又∵OE?面BDE，PA?面BDE∴PA∥面BDE
（2）由（1）知AC⊥DB
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥PD
∵PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D∴AC⊥面PDB
又AC?面PAC∴面PAC⊥面PDB．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．