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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E為PC的中點.
(1)證明:PA∥面BDE;
(2)證明:面PAC⊥面PDB.

【答案】分析:(1)欲證PA∥面BDE,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與面BDE內(nèi)一直線平行即可,連接AC,交BD于O,連接OE,得到OE∥PA,滿足定理條件;
(2)欲證面PAC⊥面PDB,根據(jù)面面垂直的判定定理可知只需證面ABCD內(nèi)一直線AC垂直面PDB即可,而AC⊥PD,AC⊥DB,PD?面PDB,BD?面PDB,PD∩DB=D,根據(jù)線面垂直的判定定理可知符合定理條件.
解答:證明:(1)連接AC,交BD于O,連接OE
∵DB平分∠ADC,AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA
又∵E為PC的中點∴OE∥PA
又∵OE?面BDE,PA?面BDE∴PA∥面BDE
(2)由(1)知AC⊥DB
∵PD⊥面ABCD,AC?面ABCD∴AC⊥PD
∵PD?面PDB,BD?面PDB,PD∩DB=D∴AC⊥面PDB
又AC?面PAC∴面PAC⊥面PDB.
點評:本題主要考查了直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習(xí)冊答案
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